一阶电路的零状态响应

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    在动态元件初始储能为 0 的前提下,电路对初始激励产生的响应,称为零状态响应。显然,这一响应与输入形式有关。

    最简单最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。

1、RC 电路的零状态响应

    如图,在 t = 0 时刻,开关闭合,问 i 、u R 、 u C 如何变化?

    一阶电路的零状态响应

    物理过程分析:

    根据以前知识,uC ( 0+ )=uC ( 0 )=u C ( 0 )=0 。这就是说,在 t=0 时刻,电容相当于短路,直流电压全部降落在 R上,那么电流 i (0 + )=U 0 / R 。但是,电流一经流动,必然在电容极板上产生电荷堆积,qCu C > 0。然而,总电压 U0 不变,R 上压降必然减小,从而电流 iuR/R 减小 …… 。最终,uCU0i →0,充电停止,电路达到另外一个稳态,此时,电容相当于开路。

    数学求解:

      t > 0

一阶电路的零状态响应
    这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。作如下代换后,求解:

一阶电路的零状态响应
    结论:uC 随时间呈指数增长,最终趋于 uC。而 uR 则相反, uCuRU0 。电流 i(t) 从 U0 / R开始衰减,最终趋于0,快慢取决于 τ

    特别注意: 在整个充电过程中,电源提供的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系:

一阶电路的零状态响应
    使人惊奇的是:不论 C R 的取值有多大,充电过程中,电源提供的能量中,正好一半转变成电场能存储于电容中,另一半则被 R 消耗掉了,即充电效率仅有50%。

2、RL 电路的零状态响应

    如图,在 t = 0 时刻,开关闭合,直流电压源加于电路。问 i 、u R 、 u L 随时间如何变化?

    一阶电路的零状态响应

    物理过程分析:

    根据以前知识,在有限电压前提下,电流不能跃变,i ( 0+ ) = i ( 0 )= i ( 0 ) = 0 。也即:

        u R( 0 + ) = R i ( 0 + )= 0

    此刻, U 0 全部降落在 L 上,即:

        u L( 0+ ) = U0

    换句话说,L 相当于开路 。

    但是,电流一经流动,必然在 R 上产生压降,总电压 U0不变,故 L 上压降必然减小。

    最终,电流趋于最大值 u 0 / RU 0 全部降在 R 上,U L → 0 ,此时,电感相当于短路。电路达到另外一个稳态。

    数学求解 t > 0 的电路响应:

一阶电路的零状态响应

    运用高等数学中求解一阶线性非齐次方程的一种方法,先求得相应齐次方程的通解:

一阶电路的零状态响应
一阶电路的零状态响应
    在 0~∞时间内,L 储备的磁能:

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