图1所示是一RC串联电路。可分三种响应对其进行暂态分析。
1、零状态响应
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图1 RC电路 |
所谓RC电路的零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即
。在此条件下，由电源激励所产生的电路的响应，称为零状态响应。
在图1中，如果在t=0时将开关S合到位置1上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通，对电容元件开始充电，其上电压为
。
根据基尔霍夫电压定律，列出
时电路的微分方程
(1)
上式的通解有两个部分：一个是特解
，一个是补函数
。
特解取电路的稳态值，或称稳态分量，即
补函数是齐次微分方程
的通解，其形式为
代入上式，得特征方程
其根为
式中，
，它具有时间的量纲，所以称为RC电路的时间常数。
因此，式(1.37)的通解为
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| 图2零状态响应 |
设换路前电容元件未储有能量，即初始值
，则
，于是得
(2)
其随时间的变化曲线如图2所示。
当
时
即从t=0经过一个τ的时间
增长到稳定值U的63.2%。
从理论上讲，电路只有经过t=∞的时间才能达到稳定。但是，由于指数曲线开始变化较快，而后逐渐缓慢。所以，实际上经t=5τ的时间，就足可认为达到稳定状态了。τ愈小，曲线的增长就愈快。
由式(2)也可求出
和
，即
(3)
(4)
2、零输入响应
所谓RC电路的零输入，是指无电源激励，输入信号为零。在此条件下，由电容元件的初始状态
所产生的电路的响应，称为零输入响应。
如果在图3中，当电容元件充电到
时，即将开关S从位置1合到2，脱离电源(输入为零)，电容元件开始放电，稳态值
[初始值
]，则经求解可得
(5)
其随时间的变化曲线如图4所示。
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图3 RC电路 |
图4 零输入响应 |
当t=τ时
即从t=0经过一个τ的时间uC衰减到初始值
的36.8%。τ愈小，衰减愈快。
由式 (5)也可求出
(6)
(7)
上两式中的负号表示放电电流的实际方向与图1中所选定的参考方向相反。
3、全响应
如果在图5中，电容元件初始电压为
，t=0时，将开关S从位置合到2，电路即进入全响应。
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图5RC电路 |
所谓RC电路的全响应，是指电源激励和电容元件的初始状态
均不为零时电路
的响应，也就是零状态响应与零输入响应两者的叠加。
(8)
由式 (8)可写出分析一阶线性电路暂态过程中任意变量的一般公式，即
(9)
只要求得初始值
、稳态值
和电路时间常数τ这三个“要素”，就能直接写出电路的响应(电压或电流)。这就是一阶线性电路暂态分析的三要素法。