输电导线悬挂点不等高时导线的应力与弧垂

一、导线的斜抛物线方程 　　导线悬垂曲线的悬链线方程是假定荷载沿导线曲线孤长的均匀分布导出的，是精确的计算方法。工程计算中，在满足计算精度要求的情况下，可以采用较简单的近似计算方法。前述的平抛抛物方程是简化计算形式之一，但它用于悬挂点不等高且高差较大的情况进行计算可能会造成较大误差。 　　为此,又引出了悬垂曲线的斜抛物线方程式，用于悬挂点不等高时的近似计算公式。
　　斜抛物线方程的假设条件为：作用在导线上的荷载沿悬挂点连线AB均匀分布，即用斜线代替弧长，如图1所示。这一假设与荷载沿弧长均匀分布有些差别，但实际上一档内导线弧长与线段AB的长度相差很小，因此这样的假设可以符合精度要求。
　　图1 悬挂点不等高示意图,图中诸多符号的含义后边另作说明。
　　
　　在上述假设下，导线OD段的受力情况如图2所示。此时垂直荷重的弧长L_x换成了x/cos，这相当于把水平距离x折算到斜线上。
　　
　　　图2　OD段的受力图
　　根据静力学平衡条件，y轴向受力代数和为
　　　
　　又　
　　对上式进行积分，并根据所选的坐标系确定积分常数为零，可得到导线悬垂曲线的斜抛物线方程为：
　　　（1）
　　式中—高差角；
　　其他符号意义同前。
　　实际上，式（1）与式（2）相比差个关系，但相对于式（3）在应用于计算中仍然简明得多。
　　据弧长微分式，将
　　　　　　　　
　　的关系代入可得斜抛物线方程下的弧长方程为（取前两项）
　　　　　　　 二、导线最低点到悬挂点的距离 　　此时是在讨论悬挂点不等高情况下的导线力学及几何关系。为此我们通过分析导线最低点到悬挂点之间的两种距离，即水平距离和垂直距离的几何关系，来导出使用斜抛物线方程下的导线应力、孤垂及线长的计算公式。如图2－8所示，将坐标原点选在导线最低点，显然，随着坐标原点的不同，方程的表达式也有所不同。
　　1．水平距离
　　用斜抛物线方程计算时，由式（1）可知导线最低点到悬挂点之间的水平距离和垂直距离的关系为
　　　（2）
　　　（3）
　　式中—最低点到悬挂点的垂直距离，m; 、
　　—最低点到悬挂点的水平距离，m; 其他符号意义同前。
　　悬挂点的高差：
　　
　　其中档距；且高差与档距关系有，以及，则联立求解上二式得
　　　(4)
　　　(5)
　　其中　
　　上式中f—档内导线最大弧垂（见后证明） 。
　　另外是个代数量，据坐标关系，悬挂点B在导线最低点O的左侧时，它为负值。
　　导线最低点至档距中央距离为
　　　(6)
　　2．垂直距离
　　将式(6)、式(7)分别代入式(2)、式(3)可得
　　　(7)
　　　(8) 三、悬挂点不等高时的最大弧垂 　　在悬挂点不等高的一档导线上作一条辅助线平行于AB，且与导线相切于D点，显然相切点的弧垂一定是档内的最大弧垂。通过证明可知最大弧垂处于档距的中央。
　　用抛物线方程确定导线上任一点D(x,y)点的弧垂f_x，则在图1中C′点和A点的高差为：
　　
　　弧垂f_x为
　　　（9）
　　式中—导线上任一点D(x,y)到导线悬挂点A、B的水平距离；
　　其它符号意义同前。
　　确定档内最大孤垂的另一方法是对导线上任一点弧垂 的函数求导并令其为零（极值法），即对式（11）求导，且，解出。
　　显然其结果就是导线最低点到档距中央的水平距离。由此得出结论：导线悬挂点等高时，档内最大孤垂一定在档距中央；而导线悬挂点不等高时，档内最大孤垂仍在档距中央。但注意若用悬链线方程推证，则悬挂点不等高时，最大孤垂并不真正在档距中央处，证明略。
　　最大弧垂出现在档距中央，即时，代入式(2-41)中，得到最大弧垂计算式为
　　　（10） 四、导线的应力 　　导线上任意一点的轴向应力为
　　　（11）
　　悬挂点A的应力为
　　　（12）
　　悬挂点B的应力为：
　　　（13） 五、一档线长 　　悬挂点不等高，一档线长用斜抛物线方程计算时，其精度不高，因此工程中采用悬链线方程导出的线长方程近似式作为斜抛物线线长的计算公式（证明略），即
　　　(14)